5132. Через вершину выпуклого четырёхугольника проведите прямую так, чтобы она разделила площадь четырёхугольника пополам.
Решение. Предположим, что прямая, проходящая через вершину A
выпуклого четырёхугольника ABCD
площади S
, пересекает противоположную сторону BC
в точке L
, отличной от вершины C
, не проходит через середину M
диагонали BD
и при этом S_{\triangle ABL}=S_{ALCD}
.
Пусть P
— точка пересечения AL
и CM
. Тогда AM
и CM
— медианы треугольников ABD
и BCD
, поэтому
S_{\triangle ABCM}=\frac{1}{2}S_{ABCD}=S_{\triangle ABL}.
Пятиугольник ABLPM
— общая часть четырёхугольника ABCM
и равновеликого ему треугольника ABL
, поэтому S_{\triangle AMP}=S_{\triangle CLP}
. Следовательно, LM\parallel AC
(см. задачу 4190).
Отсюда вытекает следующее построение. Если диагональ AC
проходит через середину диагонали BD
, то AC
— искомая прямая. Если же диагональ AC
пересекает диагональ BD
не в её середине M
, то через точку M
проведём прямую, параллельную диагонали AC
. Эта прямая в некоторой точке L
пересекает либо сторону BC
, либо сторону CD
. Тогда прямая AL
— искомая.