5143. К окружности в конце M
диаметра MN
проведена касательная. Через концы хорды AB
, параллельной MN
, проведены прямые NA
и NB
, пересекающие касательную в точках P
и Q
. Докажите, что произведение MP\cdot MQ
не зависит от положения хорды AB
.
Указание. Докажите, что \angle MNP=\angle MQN
.
Решение. Первый способ. Пусть точка P
лежит между M
и Q
. Обозначим \angle BMN=\alpha
, MN=d
— диаметр окружности.
Точка B
лежит на окружности с диаметром MN
, поэтому MB
— высота прямоугольного треугольника MNQ
, проведённая из вершины прямого угла. Значит, \angle MQN=\angle BMN=\alpha
. Трапеция ABNM
вписана в окружность, поэтому она равнобедренная. Значит,
\angle MNP=\angle MNA=\angle BMN=\angle MQN=\alpha.
Из прямоугольных треугольников PMN
и NMQ
получаем, что \tg\alpha=\frac{MP}{MN}
и \tg\alpha=\frac{MN}{MQ}
, значит, \frac{MP}{MN}=\frac{MN}{MQ}
. Поэтому MP\cdot MQ=MN^{2}=d^{2}
. Следовательно, произведение MP\cdot MQ
зависит только от диаметра окружности. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть P'
— точка, симметричная точке P
относительно прямой MN
(рис. 2), а A'
— точка пересечения данной окружности с лучом NP'
. Тогда A'
симметрична A
относительно прямой MN
(см. задачу 1677). Значит, AA'\perp MN
, а тогда AA'\parallel MP
. Поскольку AB\parallel MN
и MN\perp MP
, то \angle BAA'=90^{\circ}
. Следовательно, A'B
— диаметр окружности, и поэтому \angle P'NQ=\angle A'NB=90^{\circ}
.
Отрезок NM
— высота прямоугольного треугольника P'NQ
, проведённая из вершины прямого угла, значит,
MP\cdot MQ=MP'\cdot MQ=MN^{2}=d^{2}
(см. задачу 2728). Отсюда следует доказываемое утверждение.