5145. Рассмотрим всевозможные окружности, касающиеся данной прямой l
в данной на ней точке A
. Проведём прямую, параллельную l
. Через точки её пересечения с каждой из окружностей проведём прямые, касающиеся этой окружности. Докажите, что все эти прямые касаются некоторой фиксированной окружности.
Указание. Пусть прямая, параллельная l
, пересекает в точке D
прямую, проходящую через точку A
перпендикулярно прямой l
. Тогда рассматриваемые прямые касаются фиксированной окружности с центром A
и радиусом AD
.
Решение. Центр каждой из рассматриваемых окружностей лежит на прямой m
, проходящей через точку A
перпендикулярно прямой l
. Рассмотрим произвольную такую окружность. Пусть прямая, параллельная l
, пересекает её в точках B
и C
, прямую m
— в точке D
, а касательная к этой окружности, проведённая в точке B
, пересекает прямую m
в точке F
.
Треугольник ABC
равнобедренный (см. задачу 1734). Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle ABF=\angle ACB=\angle ABC,
значит, BA
— биссектриса угла CBF
. Поэтому точка A
равноудалена от сторон BF
и BD
этого угла. Следовательно, прямая BF
касается фиксированной окружности с центром A
и радиусом AD
. Аналогично для точки C
, а также для соответствующих точек всех рассматриваемых окружностей.