5158. В прямоугольном треугольнике ABC
длина гипотенузы AB
равна 5, разность углов BAC
и ABC
равна \frac{\pi}{10}
, точка D
— середина AB
. Чему равно расстояние между центрами окружностей, описанных вокруг треугольников ACD
и BCD
?
Ответ. \frac{5}{2\sin\frac{2\pi}{5}}
.
Решение. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы (см. задачу 1109), поэтому треугольники ADC
и BDC
равнобедренные.
Пусть O_{1}
и O_{2}
соответственно — центры их описанных окружностей, R_{1}
и R_{2}
— радиусы окружностей. Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
. Тогда \alpha-\beta=\frac{\pi}{10}
и \alpha+\beta=\frac{\pi}{2}
, откуда находим, что \alpha=\frac{3\pi}{10}
, \beta=\frac{\pi}{5}
.
По теореме синусов
O_{2}D=R_{2}=\frac{CD}{2\sin\angle CBD}=\frac{\frac{5}{2}}{2\sin\beta}=\frac{5}{4\sin\beta}.
Прямые DO_{1}
и DO_{2}
— серединные перпендикуляры к отрезкам AC
и BC
соответственно, а так как треугольники ADC
и BDC
равнобедренные, то DO_{1}
и DO_{2}
— биссектрисы смежных углов ADC
и BDC
, значит, \angle O_{1}DO_{2}=90^{\circ}
. Кроме того, острые углы DO_{2}O_{1}
и BCD
равны как углы между соответственно перпендикулярными сторонами, поэтому \angle O_{1}DO_{2}=\beta
.
Из прямоугольного треугольника O_{1}DO_{2}
находим, что
O_{1}O_{2}=\frac{O_{2}D}{\cos\angle O_{1}DO_{2}}=\frac{\frac{5}{4\sin\beta}}{\cos\beta}=\frac{5}{4\sin\beta\cos\beta}=\frac{5}{2\sin2\beta}=\frac{5}{2\sin\frac{2\pi}{5}}.