5171. В трапецию ABCD
вписан параллелограмм KLMN
так, что вершины L
и N
лежат на основаниях BC
и AD
, а вершины K
и M
— на сторонах AB
и CD
соответственно, причём AK:BK=2:3
и BL:CL=7:5
. Найдите отношение площадей треугольников BKL
и CLM
.
Ответ. \frac{21}{10}
.
Решение. Пусть KK_{1}
и MM_{1}
— высоты треугольников BKL
и CLM
, а KK_{2}
и MM_{2}
— высоты треугольников AKN
и DMN
. Тогда K_{1}M_{1}M_{2}K_{2}
— прямоугольник, причём его центр (середина диагонали K_{2}M_{1}
) совпадает с центром O
параллелограмма KLMN
(середина диагонали KM
, см. задачу 1057), значит, треугольники OKK_{2}
и OMM_{1}
равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому KK_{2}=MM_{1}
. Кроме того, треугольники BKK_{1}
и AKK_{2}
подобны, поэтому \frac{KK_{1}}{KK_{2}}=\frac{BK}{AK}=\frac{3}{2}
. Следовательно,
\frac{S_{\triangle BKL}}{S_{\triangle CLM}}=\frac{\frac{1}{2}BL\cdot KK_{1}}{\frac{1}{2}CL\cdot MM_{1}}=\frac{BL}{CL}\cdot\frac{KK_{1}}{MM_{1}}=\frac{BL}{CL}\cdot\frac{KK_{1}}{KK_{2}}=\frac{BL}{CL}\cdot\frac{BK}{AK}=\frac{7}{5}\cdot\frac{3}{2}=\frac{21}{10}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 2007 июль, устный экзамен