5183. В треугольнике ABC
проведена медиана AM
. Известно, что AM:BC=\sqrt{13}:2
, а угол BAC
равен 30^{\circ}
. Найдите углы ABC
и ACB
, считая, что угол ABC
не меньше угла ACB
.
Ответ. 90^{\circ}
, 60^{\circ}
.
Решение. Обозначим BM=CM=a
, AC=b
, AB=c
. Из условия задачи следует, что \angle AMC\gt\angle ABC\geqslant\angle ACB=\angle ACM
. Против большего угла в треугольнике AMC
лежит большая сторона, поэтому b\gt c
.
Из условия задачи следует, что BC=2a
и AM=a\sqrt{13}
. По формуле для квадрата медианы треугольника (см. задачу 4014) и по теореме косинусов
4AM^{2}=2AC^{2}+2AB^{2}-BC^{2},~BC^{2}=AC^{2}+AB^{2}-2AC\cdot AB\cos30^{\circ},
или
\syst{52a^{2}=2b^{2}+2c^{2}-4a^{2}\\4a^{2}=b^{2}+c^{2}-bc\sqrt{3}\\}~\Leftrightarrow~\syst{bc=8a^{2}\sqrt{3}\\b^{2}+c^{2}=28a^{2}.\\}
С учётом условия b\gt c
получаем, что b^{2}=16a^{2}
и c^{2}=12a^{2}
, а так как
BC^{2}+AB^{2}=4a^{2}+c^{2}=4a^{2}+12a^{2}=16a^{2}=b^{2}=AC^{2},
то \angle ABC=90^{\circ}
. Следовательно,
\angle BCA=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}.