5206. В параллелограмме ABCD
диагонали пересекаются в точке O
. На продолжении стороны AB
за точку B
отмечена такая точка M
, что MC=MD
. Докажите, что \angle AMO=\angle MAD
.
Указание. На продолжении отрезка MO
за точку O
отложите отрезок OK
, равный MO
.
Решение. Первый способ. На продолжении отрезка MO
за точку O
отложим отрезок OK
, равный MO
(рис. 1). Тогда BMDK
— параллелограмм, поэтому DK\parallel AM
, а так как CD\parallel AM
, то точка K
лежит на прямой CD
. Следовательно, четырёхугольник CMBK
— трапеция.
Кроме того, BK=MD=MC
, значит, эта трапеция — равнобокая. Её диагонали BC
и MK
образуют равные углы с основанием BM
, следовательно, \angle AMO=\angle MBC=\angle MAD
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Через точку O
проведём прямую параллельную BC
(рис. 2). Пусть эта прямая пересекает стороны AB
и CD
в точках P
и Q
соответственно. По теореме Фалеса P
и Q
— середины отрезков AB
и CD
.
Треугольник CMD
— равнобедренный, поэтому его медиана MQ
является высотой, а так как AB\parallel CD
, то MQ\perp AB
, поэтому треугольник PMQ
— прямоугольный с прямым углом при вершине M
. Его медиана MO
равна половине гипотенузы PQ
(см. задачу 1109), значит, треугольник MOP
— равнобедренный. Следовательно,
\angle AMO=\angle PMO=\angle MPO=\angle MAD.
Что и требовалось доказать.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2011-12 г., окружной тур, 8 кл.
Источник: Избранные задачи окружных олимпиад по математике в Москве / Сост. А. Д. Блинков. — М.: МЦНМО, 2015. — № 95, с. 17