5213. Диагональ описанного четырёхугольника разбивает его на два треугольника. Докажите, что окружности, вписанные в эти треугольники касаются диагонали в одной и той же точке.
Решение. Пусть ABCD
— описанный четырёхугольник со сторонами AB=a
, BC=b
, CD=c
, AD=b
и диагональю BD=t
. Тогда a+c=b+d
.
Предположим, что окружности, вписанные в треугольники ABD
и BCD
, касаются общей стороны BD
в точках M
и N
соответственно, а p_{1}
и p_{2}
— полупериметры этих треугольников. Тогда
BN=p_{1}-AD=\frac{a+d+t}{2}-d=\frac{a+t-d}{2},~BM=p_{2}-CD=\frac{b+c+t}{2}-c=\frac{b+t-c}{2}
(см. задачу 219), а так как a+c=b+d
, то a-d=b-c
, поэтому BN=BM
. Следовательно, точки M
и N
совпадают.