5248. Дан равнобедренный треугольник ABC
с основанием BC=10
и боковыми сторонами AB=AC=13
. Точка M
лежит на стороне AB
, причём AM:MB=2:1
. Через точку M
проведена прямая, касающаяся окружности радиуса 2, вписанной в угол ACB
. В каком отношении эта прямая делит площадь треугольника ABC
?
Ответ. 4:5
или 5:19
.
Решение. Пусть AH
— высота треугольника ABC
. Тогда
AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{169-25}=12.
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник ACH
, равен
\frac{1}{2}(AH+CH-AC)=\frac{1}{2}(12+5-13)=2
(см. задачу 217), значит, окружность, о которой говорится в условии задачи, — это вписанная окружность прямоугольного треугольника ACH
.
Прямая, проходящая через точку M
и касающаяся этой окружности, пересекает либо боковую сторону AC
(рис. 1), либо основание BC
(рис. 2).
Заметим, что расстояние между прямой, проходящей через точку M
параллельно BC
, и прямой BC
равно \frac{1}{3}
высоты AH
, т. е. диаметру окружности, значит, эта прямая — одна из указанных касательных. Пусть она пересекает боковую сторону AC
в точке T
. Тогда
\frac{S_{\triangle AMT}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{4}{9}.
В этом случае искомое отношение равно \frac{4}{5}
.
Рассмотрим второй случай. Пусть O
— центр окружности, L
— проекция точки M
на сторону BC
, N
— точка пересечения касательной с основанием BC
; F
, P
и Q
— точки касания окружности с прямыми BC
, MN
и MT
соответственно. Тогда
QM=FL=FH+HL=FH+\frac{2}{3}\cdot BH=2+\frac{2}{3}\cdot5=\frac{16}{3}.
Обозначим, \angle OMP=\angle OMQ=\alpha
. Тогда \angle MNL=\angle NMQ=2\alpha
, а так как \tg\alpha=\frac{OQ}{QM}=\frac{2}{\frac{16}{3}}=\frac{3}{8}
, то
\tg2\alpha=\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^{2}\alpha}=\frac{2\cdot\frac{3}{8}}{1-\frac{9}{64}}=\frac{48}{55}.
Из прямоугольного треугольника MLN
находим, что LN=ML\ctg2\alpha=4\cdot\frac{55}{48}=\frac{55}{12}
, поэтому
BN=BL+LN=\frac{1}{3}\cdot5+\frac{55}{12}=\frac{25}{4},~\frac{BN}{BC}=\frac{\frac{25}{4}}{10}=\frac{5}{8}.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle MBN}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{BM}{AB}\cdot\frac{BN}{BC}=\frac{1}{3}\cdot\frac{5}{8}=\frac{5}{24},
а искомое отношение равно \frac{5}{19}
.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. —