5265. На диаметре окружности взяты две точки, равноудалённые от центра. Докажите, что сумма квадратов расстояний от каждой точки окружности до этих точек постоянна.
Указание. Примените формулу для квадрата медианы треугольника (см. задачу 4014).
Решение. Пусть O
— центр окружности радиуса R
, C
и D
— точки на диаметре AB
, причём OC=OD=a
, M
— произвольная точка, лежащая на окружности.
Отрезок MO
— медиана треугольника CMD
, поэтому
MO^{2}=\frac{1}{4}(2MC^{2}+2MD^{2}-CD^{2})
(см. задачу 4014). Отсюда находим, что
MC^{2}+MD^{2}=\frac{1}{2}(4MO^{2}+CD^{2})=\frac{1}{2}(4R^{2}+4a^{2})=2(R^{2}+a^{2}).
Следовательно, указанная сумма квадратов зависит только от радиуса окружности и расстояния от точек C
и D
до центра, и не зависит от положения точки M
на окружности.
Источник: Пржевальский Е. Собрание геометрических теорем и задач. — М.: Типография Г. Лисснера и Д. Собко, 1909. — № 153, с. 87