5266. На полуокружности с диаметром AB
взята произвольная точка P
, а на диаметре AB
— произвольная точка C
. Прямая, проходящая через точку C
перпендикулярно AB
, пересекает прямые AP
и BP
в точках D
и E
, а полуокружность — в точке F
. Докажите, что CF^{2}=CE\cdot CD
.
Решение. Отрезок CF
— высота прямоугольного треугольника AFB
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому CF^{2}=AC\cdot BC
(см. задачу 2728). Пусть PM
— высота прямоугольного треугольника APF
. Тогда PM^{2}=AM\cdot BM
.
Треугольник APM
подобен треугольнику ADC
, а треугольник BCE
— треугольнику BMP
, поэтому
\frac{CD}{PM}=\frac{AC}{AM},~\frac{CE}{PM}=\frac{BC}{BM}.
Перемножив эти равенства, получим, что
\frac{CD\cdot CE}{PM^{2}}=\frac{AC\cdot BC}{AM\cdot BM}=\frac{CF^{2}}{PM^{2}}.
Следовательно, CD\cdot CE=CF^{2}
. Что и требовалось доказать.