5270. Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника. Площади двух треугольников, примыкающих к основаниям, равны S_{1}
и S_{2}
. Найдите площадь S
трапеции и докажите, что S_{1}+S_{2}\gt\frac{1}{2}S
.
Ответ. S=(\sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}})^{2}
.
Указание. См. задачу 3027.
Решение. Поскольку S=(\sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}})^{2}
(см. задачу 3027) и \sqrt{S_{1}\cdot S_{2}}\leqslant\frac{S_{1}+S_{2}}{2}
,
S_{1}+S_{2}=S-2\sqrt{S_{1}\cdot S_{2}}\geqslant S-(S_{1}+S_{2}).
Следовательно, S_{1}+S_{2}\geqslant\frac{1}{2}S
, а так как S_{1}\ne S_{2}
, то S_{1}+S_{2}\gt\frac{1}{2}S
.