5273. Около окружности радиуса r
описан правильный двенадцатиугольник A_{1}A_{2}\dots A_{12}
. Докажите, что A_{1}A_{2}+A_{1}A_{4}=2r
.
Указание. Пусть B
— точка пересечения диагоналей A_{2}A_{9}
и A_{1}A_{6}
. Тогда треугольники A_{1}A_{2}B
и A_{6}A_{9}B
равносторонние.
Решение. Первый способ. Пусть R
— радиус окружности, описанной около правильного двенадцатиугольника A_{1}A_{2}\dots A_{12}
, O
— центр двенадцатиугольника (рис. 1). Тогда
A_{1}A_{2}=2R\sin\frac{1}{2}\angle A_{1}OA_{2}=2R\sin\frac{180^{\circ}}{12}=2R\sin15^{\circ}.
Аналогично
A_{1}A_{4}=2R\sin3\cdot15^{\circ}=2R\sin45^{\circ},~A_{1}A_{6}=2R\sin5\cdot15^{\circ}=2R\sin75^{\circ}.
Заметим, что расстояние между вершинами A_{1}
и A_{6}
равно расстоянию между противоположными сторонами A_{1}A_{12}
и A_{6}A_{7}
, т. е. 2r
, значит,
A_{1}A_{2}+A_{1}A_{4}=2r~\Leftrightarrow~2R\sin15^{\circ}+2R\sin45^{\circ}=2R\sin75^{\circ}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\sin15^{\circ}+\sin45^{\circ}=\sin75^{\circ}~\Leftrightarrow~2\sin30^{\circ}\cos15^{\circ}=\sin75^{\circ}~\Leftrightarrow~\cos15^{\circ}=\sin75^{\circ}.
Отсюда следует решение задачи.
Второй способ. Пусть B
— точка пересечения диагоналей A_{2}A_{9}
и A_{1}A_{6}
(рис. 2). Тогда треугольники A_{1}A_{2}B
и A_{6}A_{9}B
равносторонние. Значит, A_{1}B=A_{1}A_{2}
и BA_{6}=A_{6}A_{9}=A_{1}A_{4}
. Кроме того, расстояние между вершинами A_{1}
и A_{6}
равно расстоянию между сторонами A_{1}A_{12}
и A_{6}A_{7}
, т. е. 2r
. Следовательно,
A_{1}A_{2}+A_{1}A_{4}=A_{1}B+BA_{6}=A_{1}A_{6}=2r.
Что и требовалось доказать.
Третий способ. Поскольку треугольник A_{2}A_{6}A_{10}
— равносторонний (рис. 3), а точка A_{1}
лежит на дуге A_{2}A_{10}
его описанной окружности, то A_{1}A_{2}+A_{1}A_{10}=A_{1}A_{6}
(см. задачу 17), а так как A_{1}A_{10}=A_{1}A_{4}
и A_{1}A_{6}=2r
, то A_{1}A_{2}+A_{1}A_4=2r
.