5283. Медианы треугольника ABC
, проведённые из вершин A
и B
, перпендикулярны, BC=a
, AC=b
, AB=c
. Докажите, что:
а) a^{2}+b^{2}=5c^{2}
; б) \frac{1}{2}\lt\frac{a}{b}\lt2
; в) если медиана, проведённая из вершины C
равна m_{c}
, то m_{c}=\frac{3}{2}c
; г) \cos\angle ACB\geqslant\frac{4}{5}
.
Решение. а) См. задачу 1947.
б) Из неравенства треугольника следует, что |a-b|\lt c
. Тогда
(a-b)^{2}\lt c^{2}~\Leftrightarrow~a^{2}+b^{2}-2ab\lt c^{2}~\Leftrightarrow~a^{2}+b^{2}-2ab\lt\frac{1}{5}(a^{2}+b^{2})~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~2a^{2}-5ab+2b^{2}\lt0~\Leftrightarrow~\left(a-\frac{1}{2}b\right)(a-2b)\lt0~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\frac{1}{2}b\lt a\lt2b~\Leftrightarrow~\frac{1}{2}\lt\frac{a}{b}\lt2.
в) Пусть M
— точка пересечения медиан AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
. Отрезок MC_{1}
— медиана прямоугольного треугольника AMB
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
m_{c}=3MC_{1}=3\cdot\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}c.
г) Учитывая, что a^{2}+b^{2}=5c^{2}
и 2ab\leqslant a^{2}+b^{2}
, получаем, что
\cos\angle ACB=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=\frac{5c^{2}-c^{2}}{2ab}=\frac{4c^{2}}{2ab}\geqslant\frac{4c^{2}}{a^{2}+b^{2}}=\frac{4c^{2}}{5c^{2}}=\frac{4}{5}.