5284. Медианы треугольника ABC
, проведённые из вершин A
и B
, перпендикулярны. Известно, что AB=c
, \angle ACB=\gamma
. Найдите площадь треугольника.
Ответ. c^{2}\tg\gamma
.
Указание. Если BC=a
, AC=b
, а медианы AA_{1}
и BB_{1}
перпендикулярны, то a^{2}+b^{2}=5c^{2}
(см. задачу 1947).
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
. Медианы AA_{1}
и BB_{1}
перпендикулярны, поэтому a^{2}+b^{2}=5c^{2}
(см. задачу 1947). По теореме косинусов
c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma=5c^{2}-2ab\cos\gamma.
Отсюда находим, что ab=\frac{2c^{2}}{\cos\gamma}
. Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab\sin\gamma=\frac{1}{2}\cdot\frac{2c^{2}}{\cos\gamma}\cdot\sin\gamma=c^{2}\tg\gamma.