5300. Выразите диагонали вписанного четырёхугольника через его стороны.
Ответ. e=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}
, f=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}
.
Указание. Примените теорему косинусов.
Решение. Применив теорему косинусов к треугольникам ABC
и ADC
, получим, что
e^{2}=AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2AB\cdot BC\cos\angle ABC=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\alpha,
e^{2}=BD^{2}=AD^{2}+DC^{2}-2AD\cdot DC\cos(180^{\circ}-\angle ABC)=d^{2}+c^{2}+2cd\cos\alpha.
Из равенства
a^{2}+b^{2}-2ab\cos\alpha=d^{2}+c^{2}+2cd\cos\alpha
находим, что
\cos\alpha=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}}{2(ab+cd)}.
Значит,
e^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\alpha=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}}{2(ab+cd)}=
=a^{2}+b^{2}-\frac{ab(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})}{ab+cd}=
=\frac{a^{3}b+ab^{3}+a^{2}cd+b^{2}cd-a^{3}b-ab^{3}+abc^{2}+abd^{2}}{ab+cd}=
=\frac{a^{2}cd+b^{2}cd+abc^{2}+abd^{2}}{ab+cd}=
=\frac{ac(ad+bc)+bd(bc+ad)}{ab+cd}=\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}.
Аналогично
f^{2}=\frac{(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}.
Следовательно,
e=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}},~f=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}.
Примечание. Из полученных формул легко получается теорема Птолемея (см. задачу 130).