5311. Пусть CD=l_{c}
— биссектриса треугольника ABC
со сторонами AC=b
и BC=a
. Докажите, что если \frac{1}{l_{c}}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}
, то \angle ACB=120^{\circ}
.
Указание. См. задачу 4021.
Решение. Из равенства \frac{1}{l_{c}}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}
следует, что l_{c}=\frac{ab}{a+b}
Обозначим \angle ACB=\gamma
. Тогда l_{c}=\frac{2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b}
(см. задачу 4021). Значит,
\frac{ab}{a+b}=\frac{2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b}.
Отсюда находим, что \cos\frac{\gamma}{2}=\frac{1}{2}
, \frac{\gamma}{2}=60^{\circ}
. Следовательно, \gamma=120^{\circ}
.