5312. Пусть AM=l_{a}
и BN=l_{b}
— биссектрисы треугольника ABC
со сторонами AC=b
и BC=a
. Докажите, что если al_{a}=bl_{b}
, то либо a=b
, либо \angle ACB=60^{\circ}
.
Указание. Произведение стороны треугольника на проведённую к ней высоту для данного треугольника постоянно.
Решение. Обозначим \angle ACB=\gamma
, \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
. Пусть h_{a}
и h_{b}
— высоты треугольника ABC
, проведённые из вершин A
и B
соответственно. Тогда ah_{a}=bh_{b}
(см. задачу 1967). Разделив это равенство на данное, получим, что \frac{h_{a}}{l_{a}}=\frac{h_{b}}{l_{b}}
.
Заметим, что
\frac{h_{a}}{l_{a}}=\sin\left(\beta+\frac{\alpha}{2}\right),~\frac{h_{b}}{l_{b}}=\sin\left(\alpha+\frac{\beta}{2}\right),
поэтому либо \beta+\frac{\alpha}{2}=\alpha+\frac{\beta}{2}
, либо \beta+\frac{\alpha}{2}+\alpha+\frac{\beta}{2}=180^{\circ}
.
В первом из этих случаев \alpha=\beta
, следовательно, a=b
. Во втором — \alpha+\beta=120^{\circ}
, следовательно, \gamma=60^{\circ}
.