5324. Докажите, что для всякого треугольника ABC
со сторонами BC=a
, AC=b
, AB=c
и радиусом R
описанной окружности верно неравенство c^{2}\leqslant R^{2}+a^{2}+b^{2}
.
Указание. См. задачу 5323.
Решение. Пусть D
— точка, симметричная центру O
описанной окружности треугольника ABC
относительно прямой AB
. Тогда CD^{2}=R^{2}+a^{2}+b^{2}-c^{2}
(см. задачу 5323). Следовательно,
c^{2}=R^{2}+a^{2}+b^{2}-CD^{2}\leqslant R^{2}+a^{2}+b^{2},
причём равенство достигается в случае, когда точка D
совпадает с O
, т. е. когда треугольник ABC
прямоугольный с прямым углом при вершине C
.