5330. Радиусы описанной и вписанной окружностей остроугольного треугольника ABC
равны R
и r
соответственно. В сегменты с хордами BC
, AC
и AB
вписаны окружности радиусов соответственно r_{a}
, r_{b}
, r_{c}
, расположенные вне треугольника и касающиеся хорд в их серединах. Докажите, что:
а) r_{a}+r_{b}+r_{c}=R-\frac{1}{2}r
;
б) \frac{3}{4}R\leqslant r_{a}+r_{b}+r_{c}\lt R
.
Указание. См. задачи 3257 и 3587.
Решение. а) Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, точки A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
— середины сторон соответственно BC
, AC
, AB
. Тогда
2r_{a}=R-OA_{1},~2r_{b}=R-OB_{1},~2r_{c}=R-OC_{1},
а так как OA_{1}+OB_{1}+OC_{1}=R+r
(см. задачу 3257), то
2r_{a}+2r_{b}+2r_{c}=R-OA_{1}+R-OB_{1}+R-OC_{1}=3R-(R+r)=2R-r.
Следовательно,
r_{a}+r_{b}+r_{c}=R-\frac{1}{2}r.
б)
r_{a}+r_{b}+r_{c}=R-\frac{1}{2}r\lt R,
а так как r\leqslant\frac{1}{2}R
(см. задачу 3587), то
r_{a}+r_{b}+r_{c}=R-\frac{1}{2}r\geqslant R-\frac{1}{4}R=\frac{3}{4}R.