5344. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 12, а площадь равна 18.
Ответ. 15^{\circ}
, 75^{\circ}
.
Указание. Проведите медиану и высоту из вершины прямого угла.
Решение. Из вершины прямого угла при вершине C
прямоугольного треугольника ABC
проведём медиану CM
и высоту CH
. Тогда (см. задачу 1109)
CM=\frac{1}{2}AB=6,~CH=\frac{2S_{\triangle ABC}}{AB}=\frac{2\cdot18}{12}=3.
В прямоугольном треугольнике CHM
катет CH
равен половине гипотенузы CM
, поэтому \angle CMH=30^{\circ}
.
Будем считать, что точка H
лежит на отрезке BM
. Тогда CMH
— внешний угол равнобедренного треугольника AMC
, значит,
\angle BAC=\angle MAC=\frac{1}{2}\angle CMH=\frac{1}{2}\cdot30^{\circ}=15^{\circ}.
Следовательно, \angle ABC=75^{\circ}
.
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 66, с. 15