5352. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и отрезку, соединяющему вершину угла при основании с точкой пересечения высот.
Указание. См. задачу 1257.
Решение. Предположим, что нужный треугольник ABC
построен, H
— точка пересечения его высот, AB=AC=b
— данная боковая сторона, BH=q
— данный отрезок.
Пусть O
— центр окружности, описанной около треугольника ABC
, M
— середина стороны AC
. Тогда OM=\frac{1}{2}BH
(см. задачу 1257). Отсюда вытекает следующий способ построения.
Строим прямоугольный треугольник AOM
по двум катетам OM=\frac{q}{2}
и AM=\frac{b}{2}
. Гипотенуза этого треугольника равна радиусу R
описанной окружности искомого треугольника.
С центром в произвольной точке O
строим окружность радиуса R
, и с центром в произвольной точке A
этой окружности строим окружность радиуса b
. Если построенные окружности пересекутся в точках B
и C
, то треугольник ABC
искомый.
Действительно, его стороны AB
и AC
равны b
, а так как радиус его описанной окружности равен R=\frac{1}{2}\sqrt{b^{2}+q^{2}}
, то расстояние от центра O
до стороны AC
равно \frac{q}{2}
. Следовательно, расстояние от вершины B
до точки пересечения высот этого треугольника равно q
(см. задачу 1257).