5365. В плоскости квадрата ABCD
найдите геометрическое место точек M
, для которых MA+MC=MB+MD
.
Ответ. Две прямые, каждая из которых проходит через середины противоположных сторон квадрата.
Указание. Примените метод координат и формулу расстояния между двумя точками (см. задачу 4201).
Решение. Пусть ABCD
— квадрат со стороной 2a
, O
— его центр, M
— произвольная точка плоскости.
Выберем прямоугольную систему координат, взяв за начало точку O
и направив ось Ox
по лучу, сонаправленному с лучом AB
, а ось Oy
— по лучу, сонаправленному с лучом DA
.
Координаты вершин квадрата ABCD
: A(-a;a)
, B(a;a)
,C(a;-a)
, D(-a;-a)
. Пусть (x;y)
— координаты точки M
. По формуле расстояния между точками (см. задачу 4201) находим, что
MA=\sqrt{(x+a)^{2}+(y-a)^{2}},~MB=\sqrt{(x-a)^{2}+(y-a)^{2}},~
MC=\sqrt{(x-a)^{2}+(y+a)^{2}},~MD=\sqrt{(x+a)^{2}+(y+a)^{2}}.
Тогда
MA+MC=MB+MD~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\sqrt{(x+a)^{2}+(y-a)^{2}}+\sqrt{(x-a)^{2}+(y+a)^{2}}=
=\sqrt{(x-a)^{2}+(y-a)^{2}}+\sqrt{(x+a)^{2}+(y+a)^{2}}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~2\sqrt{((x+a)^{2}+(y-a)^{2})((x-a)^{2}+(y+a)^{2})}=
=2\sqrt{((x-a)^{2}+(y-a)^{2})((x+a)^{2}+(y+a)^{2})}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~((x+a)^{2}+(y-a)^{2})((x-a)^{2}+(y+a)^{2})=
=((x-a)^{2}+(y-a)^{2})((x+a)^{2}+(y+a)^{2})~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~(x+a)^{2}(y+a)^{2}+(x-a)^{2}(y-a)^{2}=(x-a)^{2}(y+a)^{2}+(x+a)^{2}(y-a)^{2}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~(x+a)^{2}((y+a)^{2}-(y-a)^{2})=(x-a)^{2}((y+a)^{2}-(y-a)^{2})~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~((x+a)^{2}-(x-a)^{2})((y+a)^{2}-(y-a)^{2})=0~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~4ax\cdot4ay=0~\Leftrightarrow~xy=0~\Leftrightarrow~\sovok{x=0\\y=0.}
Следовательно, искомое геометрическое место есть объединение осей координат, т. е. двух прямых, каждая из которых проходит через середины противоположных сторон квадрата.