5367. На боковых сторонах AB
и CD
трапеции ABCD
отмечены точки K
и L
, причём CK\parallel LA
. Докажите, что BL\parallel KD
.
Указание. Примените теорему о пропорциональных отрезках (см. задачу 1059).
Решение. Пусть BC=a
и AD=b
— основания трапеции, P
— точка пересечения прямых AL
и BC
. Из подобия треугольников CLD
и DLA
находим, что
CP=AD\cdot\frac{CL}{LD}=b\cdot\frac{CL}{LD},
а так как CK\parallel AP
, то
\frac{BK}{KA}=\frac{BC}{CP}=\frac{a}{b\cdot\frac{CL}{LD}}=\frac{a}{b}\cdot\frac{LD}{CL}.
Пусть Q
— точка пересечения прямых BL
и AD
. Из подобия треугольников DLQ
и CLB
находим, что
DQ=BC\cdot\frac{LD}{CL}=a\cdot\frac{LD}{CL},
значит,
\frac{DQ}{AD}=\frac{a\cdot\frac{LD}{CL}}{b}=\frac{a}{b}\cdot\frac{LD}{CL}=\frac{BK}{KA}.
Из равенства \frac{DQ}{AD}=\frac{BK}{KA}
следует, что BL\parallel KD
. Что и требовалось доказать.