5369. Точка пересечения средних линий четырёхугольника (отрезков, соединяющих середины противоположных сторон) совпадает с точкой пересечения диагоналей. Докажите, что четырёхугольник — параллелограмм.
Указание. Примените замечательное свойство трапеции (см. задачу 1513).
Решение. Пусть K
, L
, M
и N
— середины сторон соответственно AB
, BC
, CD
и AD
данного четырёхугольника ABCD
, O
— точка пересечения диагоналей четырёхугольника, отрезки KM
и LN
пересекаются в точке O
.
Предположим, что BC
не параллельно AD
. Через вершину B
проведём прямую, параллельную стороне AD
. Пусть эта прямая пересекается с прямой AC
в точке C_{1}
. Тогда ABC_{1}D
— трапеция, N
— середина её основания AD
, а O
— точка пересечения диагоналей. Тогда точка L_{1}
пересечения прямых ON
и BC_{1}
— середина основания BC_{1}
(см. задачу 1513). Поэтому LL_{1}
— средняя линия треугольника BCC_{1}
. Тогда LL_{1}\parallel CC_{1}
, или NL\parallel AC
, что невозможно (эти прямые пересекаются в точке O
). Значит, BC\parallel AD
. Аналогично AB\parallel CD
. Следовательно, ABCD
— параллелограмм.
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 398, с. 60