5374. На стороне AB
треугольника ABC
отмечена точка K
, а на стороне AC
— точка M
. Отрезки BM
и CK
пересекаются в точке P
. Оказалось, что углы APB
, BPC
и CPA
равны по 120^{\circ}
, а площадь четырёхугольника AKPM
равна площади треугольника BPC
. Найдите угол BAC
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Указание. Пусть продолжение отрезка AP
пересекает сторону BC
в точке L
. Докажите, что PL
, PM
и PK
— биссектрисы треугольников BPC
, APC
и APB
соответственно. Выразите эти биссектрисы через a=AP
, b=BP
, c=CP
(см. задачу 4614) и докажите, что треугольники APB
и CPA
подобны.
Решение. Пусть продолжение отрезка AP
пересекает сторону BC
в точке L
. Тогда
\angle BPL=180^{\circ}-\angle APB=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ},
Значит, PL
— биссектриса треугольника BPC
. Аналогично PM
и PK
— биссектрисы треугольников APC
и APB
соответственно.
Обозначим AP=a
, BP=b
, CP=c
. Тогда
PL=\frac{bc}{b+c},~PM=\frac{ac}{a+c},~PK=\frac{ab}{a+b}
(см. задачу 4614).
По условию задачи
S_{\triangle APK}+S_{\triangle APM}=S_{\triangle APC}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\frac{1}{2}PK\cdot AP\sin60^{\circ}+\frac{1}{2}PM\cdot AP\sin60^{\circ}=\frac{1}{2}PB\cdot PC\sin120^{\circ}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\frac{a^{2}b}{a+b}+\frac{a^{2}c}{a+c}=bc~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~a^{2}(ab+bc+ac+bc)=bc(a^{2}+ac+ab+bc)~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~a^{3}b+a^{2}bc+a^{3}c+a^{2}bc=a^{2}bc+abc^{2}+ab^{2}c+b^{2}c^{2}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~a^{3}b+a^{3}c+a^{2}bc=abc^{2}+ab^{2}c+b^{2}c^{2}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~a^{2}(ab+ac+bc)=bc(ac+ab+bc)~\Leftrightarrow~a^{2}=bc~\Leftrightarrow~\frac{a}{b}=\frac{c}{a}.
Значит, треугольник APB
подобен треугольнику CPA
. Тогда \angle PAC=\angle ABP
. Следовательно,
\angle BAC=\angle PAB+\angle PAC=\angle PAB+\angle ABP=180^{\circ}-\angle APB=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}.