5387. На биссектрисе угла с вершиной C
взята точка P
. Прямая, проходящая через точку P
, отсекает от сторон угла отрезки, равные a
и b
. Докажите, что величина \frac{1}{a}+\frac{1}{b}
не зависит от выбора этой прямой.
Указание. См. задачу 4021.
Решение. Пусть прямая, проходящая через точку P
, пересекает стороны угла в точках A
и B
, причём CA=a
и CB=b
. Обозначим \angle CAB=\alpha
. Отрезок CP
— биссектриса треугольника ABC
, поэтому
CP=\frac{2ab\cos\frac{\alpha}{2}}{a+b}
(см. задачу 4021). Значит,
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{2\cos\frac{\alpha}{2}}{CP},
а так как CP
и \alpha
постоянны, то постоянна и сумма \frac{1}{a}+\frac{1}{b}
.