5392. Точки A'
, B'
, C'
лежат на сторонах соответственно BC
, CA
и AB
треугольника ABC
, причём AC':C'B=1:2
, AB':B'C=4:3
, а отрезки BB'
и CC'
пересекаются в точке P
. Найдите AP:PA'
.
Ответ. 11:6
.
Решение. Первый способ. Обозначим AB'=x
и A'C=y
. Через вершину A
проведём прямую, параллельную BC
, и продолжим отрезки BB'
и CC'
до пересечения с ней в точках Q
и R
соответственно. Треугольник AB'Q
подобен треугольнику CB'B
, а треугольник AC'R
— треугольнику BC'C
, поэтому
AQ=\frac{AB'}{B'C}\cdot BC=\frac{4}{3}(x+y),~AR=\frac{AC'}{C'B}\cdot BC=\frac{1}{2}(x+y).
Значит,
\frac{AQ}{AR}=\frac{\frac{4}{3}(x+y)}{\frac{1}{2}(x+y)}=\frac{8}{3}(x+y).
Треугольник APQ
подобен треугольнику A'PB
, причём коэффициент подобия равен \frac{AP}{PA'}
, поэтому
\frac{AP}{PA'}=\frac{AQ}{BA'}=\frac{\frac{4}{3}(x+y)}{x}=\frac{4}{3}\left(1+\frac{y}{x}\right).
По теореме Чевы,
1=\frac{AC'}{C'B}\cdot\frac{BA'}{A'C}\cdot\frac{CB'}{B'A}=\frac{AC'}{C'B}\cdot\frac{x}{y}\cdot\frac{CB'}{B'A},
откуда
\frac{y}{x}=\frac{AC'}{C'B}\cdot\frac{CB'}{B'A}==\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{8}.
Следовательно,
\frac{AP}{PA'}=\frac{4}{3}\left(1+\frac{y}{x}\right)=\frac{4}{3}\left(1+\frac{3}{8}\right)=\frac{11}{6}.
Второй способ. По теореме Ван-Обеля (см. задачу 6394)
\frac{AP}{PA'}=\frac{AC'}{C'B}+\frac{AB'}{B'C}=\frac{1}{2}+\frac{4}{3}=\frac{11}{6}.
Третий способ. Поместим в вершины A
, B
и c
массы 6m
, 3m
и 8m
соответственно, а точку A'
— массу 8m+3m=11m
. Тогда центр масс системы материальных точек A(6m)
, B(3m)
, и C(8m)
— точка P
. Следовательно,
\frac{AP}{PA'}=\frac{11m}{6m}=\frac{11}{6}.