5396. Окружность, построенная на стороне AB
треугольника ABC
как на диаметре, пересекает стороны AC
и BC
в точках M
и N
соответственно. Известно, что AM:MC=1:3
и BN:NC=1:2
. Найдите углы треугольника ABC
.
Ответ. 45^{\circ}
, \arccos\frac{1}{\sqrt{5}}
, \arccos\frac{1}{\sqrt{10}}
.
Указание. См. задачу 2636.
Решение. Пусть AM=x
, MC=3x
, BN=y
, NC=2y
. Обозначим \angle ACB=\gamma
, \angle ABC=\beta
, \angle BAC=\alpha
.
Из точки C
проведены к окружности две секущие: CMA
и CNB
. Значит (см. задачу 2636), CM\cdot CA=CN\cdot CB
, или 3x\cdot4x=2y\cdot3y
. Отсюда получаем, что y=x\sqrt{2}
, BC=3y=3x\sqrt{2}
.
Точки M
и N
лежат на окружности с диаметром AB
, поэтому \angle ANC=\angle BMC=90^{\circ}
. Из прямоугольного треугольника ANC
находим, что
\cos\gamma=\cos\angle ACN=\frac{CN}{AC}=\frac{2y}{4x}=\frac{y}{2x}=\frac{x\sqrt{2}}{2x}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Следовательно, \gamma=45^{\circ}
.
По теореме косинусов
AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}-2AC\cdot BC\cos\beta}=
=\sqrt{16x^{2}+18x^{2}-2\cdot4x\cdot3x\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}=x\sqrt{10}.
Из прямоугольных треугольников ANB
и AMB
находим, что
\cos\beta=\cos\angle ABN=\frac{BN}{AB}=\frac{x\sqrt{2}}{x\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{5}},
\cos\alpha=\cos\angle BAM=\frac{AM}{AB}=\frac{x}{x\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}.