5409. Точка M
внутри выпуклого четырёхугольника ABCD
такова, что площади треугольников ABM
, BCM
, CDM
и DAM
равны. Верно ли, что ABCD
— параллелограмм, а M
— точка пересечения его диагоналей?
Ответ. Нет.
Решение. Рассмотрим четырёхугольник ABCD
, симметричный относительно прямой AC
, причём AB\ne CD
. Пусть M
— середина диагонали AC
. Тогда BM
и DM
— медианы треугольников ABC
и ADC
, значит, S_{\triangle ABM}=S_{\triangle BCM}
и S_{\triangle CDM}=S_{\triangle DAM}
(см. задачу 3001).
Треугольники ABM
и ADM
равны, так как они симметричны, следовательно,
S_{\triangle BCM}=S_{\triangle ABM}=S_{\triangle ADM}=S_{\triangle CDM}.
При этом AD=AB\ne CD
, значит, ABCD
— не параллелограмм.