5414. M_{a}
, M_{b}
, M_{c}
— середины сторон соответственно BC
, AC
, AB
треугольника ABC
, H_{a}
, H_{b}
, H_{c}
— основания высот, площадь треугольника ABC
равна S
. Докажите, что из отрезков H_{c}M_{a}
, H_{b}M_{c}
, H_{a}M_{b}
можно составить треугольник. Найдите его площадь.
Ответ. \frac{1}{4}S
.
Указание. См. задачу 1109.
Решение. Треугольник BCH_{c}
прямоугольный, H_{c}M_{a}
— его медиана, проведённая из вершины прямого угла. Поэтому |H_{c}M_{a}|=\frac{1}{2}BC
.
Аналогично |H_{b}M_{c}|=\frac{1}{2}AB
и |H_{a}M_{b}|=\frac{1}{2}AC
. Таким образом, из указанных отрезков можно составить треугольник, стороны которого вдвое меньше сторон исходного треугольника. Такой треугольник подобен исходному с коэффициентом \frac{1}{2}
, и его площадь равна \frac{1}{4}S
.
Источник: Турнир им. М. В. Ломоносова. — 1995