5415. В круге провели несколько (конечное число) различных хорд так, что каждая из них проходит через середину какой-либо другой из проведённых хорд. Докажите, что все эти хорды являются диаметрами круга.
Указание. См. задачу 6127.
Решение. Заметим, что чем меньше расстояние от центра O
окружности до хорды, тем больше хорда (см. задачу 6127). Так как хорд конечное число, то среди них есть наименьшая, например, AB
. По условию, она проходит через середину K
некоторой другой хорды, например, CD
. Если точка пересечения AB
и CD
не является также и серединой AB
, то расстояние от точки O
до CD
будет больше, чем расстояние от O
до AB
(так как OK
будет больше перпендикуляра, опущенного из точки O
на AB
), следовательно, хорда CD
меньше AB
, что невозможно. Значит, CD
проходит через середину AB
, следовательно, перпендикуляры, опущенные из точки O
на эти хорды, совпадают. Это возможно, только если хорды AB
и CD
совпадают или если AB
и CD
пересекаются в центре. Первое невозможно, значит, AB
и CD
— диаметры.
Точно также доказывается, что все остальные хорды проходят через центр O
.
Источник: Турнир им. М. В. Ломоносова. — 1996