5418. Точка K
лежит на стороне AC
треугольника ABC
. Окружность, вписанная в треугольник ABC
, касается стороны BC
в точке N
. Окружности, вписанные в треугольники ABK
и CBK
касаются стороны AC
в точках M
и L
соответственно. Докажите, что MK=NL
.
Указание. См. задачу 219.
Решение. Будем считать, что точка N
лежит между K
и L
. Пусть p
— полупериметр треугольника ABC
. Тогда
CN=p-AB=\frac{1}{2}(AC+BC-AB)
(см. задачу 219). Аналогично
MK=\frac{1}{2}(AK+BK-AB),~CL=\frac{1}{2}(BC+CK-BK).
Тогда
NL=CN-CL=\frac{1}{2}(AC+BC-AB-BC-CK+BK)=
=\frac{1}{2}(AC-AB-CK+BK).
Значит,
MK-NL=\frac{1}{2}(AK+BK-AB-AC+AB+CK-BK)=
=\frac{1}{2}(AK+CK-AC)=\frac{1}{2}(AC-AC)=0.
Следовательно, MK=NL
.