5426. Дан треугольник со сторонами AB=2
, BC=3
, AC=4
. В него вписана окружность, и точка M
касания окружности со стороной BC
соединена с точкой A
. В треугольники AMB
и AMC
вписаны окружности. Найдите расстояние между точками их касания с прямой AM
.
Ответ. 0.
Указание. См. задачу 219.
Решение. Пусть p
— полупериметр треугольника ABC
. Тогда
BM=p-AC=\frac{AB+BC-AC}{2}
(см. задачу 219). Отсюда
AB-AC=2BM-BC.
Пусть K
— точка касания вписанной в треугольник AMB
окружности с отрезком AM
. Аналогично предыдущему получим, что AK=\frac{AB+AM-BM}{2}
.
Аналогично, обозначив через L
точку касания отрезка AM
и окружности, вписанной в треугольник AMC
, получим, что AL=\frac{AC+AM-MC}{2}
. Тогда
KL=|AK-AL|=\frac{1}{2}|AB+AM-BM-(AC+AM-MC)|=
=\frac{1}{2}|AB+AM-BM-AC-AM+MC|=
=\frac{1}{2}|(AB-AC)-BM+MC|=\frac{1}{2}|(2BM-BC)-BM+MC|=
=\frac{1}{2}|BM+MC-BC|=\frac{1}{2}|BC-BC|=0.
Следовательно, точки K
и L
(точки касания окружностей) совпадают, и это верно для любых длин сторон треугольника ABC
, а не только для данных в условии задачи.
Источник: Турнир им. М. В. Ломоносова. — 2004, 9-11 класс