5440. В четырёхугольнике ABCD
известно, что AB^{2}+CD^{2}=AC^{2}+BD^{2}
. Найдите угол между сторонами CB
и AD
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Указание. Примените теорему косинусов.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть прямые BC
и AD
пересекаются в точке O
. Обозначим
\angle AOB=\alpha,~AB=a,~CD=b,~AC=p,~BD=q,~AD=c,~BC=d,~DO=x,~CO=y.
По теореме косинусов
a^{2}=(x+c)^{2}+(y+d)^{2}-2(x+c)(y+d)\cos\alpha,~b^{2}=x^{2}+y^{2}-2xy\cos\alpha,
p^{2}=(x+c)^{2}+y^{2}-2y(x+c)\cos\alpha,~q^{2}=x^{2}+(y+d)^{2}-2x(y+d)\cos\alpha.
По условию a^{2}+b^{2}=p^{2}+q^{2}
, поэтому
(x+c)^{2}+(y+d)^{2}-2(x+c)(y+d)\cos\alpha+x^{2}+y^{2}-2xy\cos\alpha=
=(x+c)^{2}+y^{2}-2y(x+c)\cos\alpha+x^{2}+(y+d)^{2}-2x(y+d)\cos\alpha~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~-2(x+c)(y+d)\cos\alpha-2xy\cos\alpha=-2y(x+c)\cos\alpha-2x(y+d)\cos\alpha,~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~((x+c)(y+d)+xy-y(x+c)-x(y+d))\cos\alpha=0~\Leftrightarrow~cd\cos\alpha=0.
Следовательно, \alpha=90^{\circ}
. Аналогично для любого другого случая.
Примечание. Верно и обратное: если противоположные стороны AD
и BC
четырёхугольника ABCD
пересекаются под прямым углом, то AB^{2}+CD^{2}=AC^{2}+BD^{2}
. При тех же обозначениях, применив теорему Пифагора к прямоугольным треугольникам AOC
, BOD
, AOC
и COD
, получим, что
p^{2}=y^{2}+(x+c)^{2},~q^{2}=x^{2}+(d+y)^{2},~
(x+c)^{2}+(y+d)^{2}=a^{2},~x^{2}+y^{2}=b^{2}.
Следовательно,
p^{2}+q^{2}=y^{2}+(x+c)^{2}+x^{2}+(y+d)^{2}=
=(x^{2}+y^{2})+((x+c)^{2}+(y+d)^{2})=a^{2}+b^{2}.
Что и требовалось доказать.
Можно также воспользоваться результатом задачи 8291: если A
, B
, C
и D
— произвольные точки плоскости, то
AB^{2}+CD^{2}-AD^{2}-BC^{2}=2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DB}.
Поменяв местами D
и C
, получим, что
AB^{2}+CD^{2}-AC^{2}-BD^{2}=2\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{CB}.
Следовательно,
AD\perp BC~\Leftrightarrow~AB^{2}+CD^{2}=AC^{2}+BD^{2}.