5441. На основании AC
треугольника ABC
взята точка D
. Могут ли окружности, вписанные в треугольники ABD
и DBC
, точками касания делить отрезок DB
на три равные части?
Ответ. Не могут.
Указание. Примените теорему об отрезках касательных, проведённых к окружности из одной точки (см. задачу 1723).
Решение. Пусть окружность, вписанная в треугольник ABD
, касается его сторон AB
, AD
и BD
в точках E
, F
и M
соответственно, а окружность, вписанная в треугольник DBC
, касается его сторон BC
, CD
и BD
в точках соответственно G
, H
и N
. Предположим, что точка M
лежит между B
и N
и при этом BM=MN=DN=x
.
Обозначим AF=AE=a
, CH=CG=b
. Тогда
BE=BM=x,~BG=BN=2x,~AB=a+x,
DF=DM=2x,~DH=DN=x,~BC=b+2x,
AB+BC=(a+x)+(b+2x)=a+b+3x,
AC=AD+DC=(a+2x)+(b+x)=a+b+3x.
Значит, AB+BC=AC
, что противоречит неравенству треугольника. Следовательно, ответ — не могут.
Примечание. Так же доказывается невозможность равенства DE=BF
. Вообще, если для вписанной в треугольник ABD
окружности E
— точка касания и BF=DE
, то F
— точка, в которой вневписанная окружность треугольника ABD
касается стороны BD
(см. задачу 4805).
Источник: Агаханов Н. Х., Подлипский О. К. Математика. Районные олимпиады. — М.: Просвещение, 2010. — 2005, № 348, с. 84, 9 класс, задача 3
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2008-2009, 10 класс