5442. Угол при вершине треугольника, боковые стороны которого равны a
и b
(a\lt b
), разделён на три равные части прямыми, отрезки которых внутри треугольника относятся как m:n
(m\lt n
). Найти длины этих отрезков.
Ответ. \frac{ab(n^{2}-m^{2})}{n(bm-an)}
, \frac{ab(n^{2}-m^{2})}{m(bm-an)}
при \frac{a}{b}\lt\frac{m}{n}
.
Указание. Примените формулу для биссектрисы треугольника по двум сторонам и углу между ними (см. задачу 4021).
Решение. Пусть угол при вершине C
треугольника ABC
равен 3\gamma
, BC=a
, AC=b
, точки M
и N
лежат на стороне AB
, при этом \angle BCM=\angle MCN=\angle ACN=\gamma
, CM=mx
, CN=nx
.
По формуле для биссектрисы треугольника по двум сторонам и углу между ними (см. задачу 4021)
mx=CM=\frac{2BC\cdot CN\cos\gamma}{BC+CN}=\frac{2anx\cos\gamma}{a+nx},
nx=CN=\frac{2AC\cdot CM\cos\gamma}{AC+CM}=\frac{2bmx\cos\gamma}{b+mx}.
Отсюда получаем, что \cos\gamma=\frac{m(a+nx)}{2an}
и \cos\gamma=\frac{n(b+mx)}{2bm}
. Из равенства \frac{m(a+nx)}{2an}=\frac{n(b+mx)}{2bm}
находим, что x=\frac{ab(n^{2}-m^{2})}{mn(bm-an)}
. Следовательно,
CM=mx=\frac{ab(n^{2}-m^{2})}{n(bm-an)},~CN=nx=\frac{ab(n^{2}-m^{2})}{m(bm-an)}.
Задача имеет решение только в случае, когда \frac{a}{b}\lt\frac{m}{n}
.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2009