5444. Даны три пересекающиеся в одной точке прямые. Верно ли, что всегда на этих прямых можно выбрать по точке так, чтобы построенный на них треугольник был правильным?
Ответ. Верно.
Указание. Рассмотрите поворот на угол 60^{\circ}
вокруг точки, взятой на одной из прямых.
Решение. Пусть прямые a
, b
и c
пересекаются в точке O
. Предположим, что углы между соседними прямыми равны по 60^{\circ}
. На лучах с началом O
, лежащих на данных прямых и образующих друг с другом углы 120^{\circ}
, отложим равные отрезки OA
, OB
и OC
. Тогда треугольник ABC
— равносторонний.
Рассмотрим любой другой случай. Пусть угол между прямыми, например, b
и c
не равен 60^{\circ}
. Возьмём на прямой a
произвольную точку A
, отличную от O
. При повороте с центром O
на угол 60^{\circ}
прямая b
переходит в некоторую прямую b'
. Тогда b'
пересекает прямую c
в некоторой точке C
. При повороте вокруг точки O
на угол -60^{\circ}
точка C
переходит в некоторую точку B
. Треугольник ABC
равносторонний, так как при повороте на угол 60^{\circ}
вокруг вершины A
вершина B
переходит в C
(см. задачу 6002).
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2011-2012