5471. В данную окружность впишите трапецию с данным острым углом \alpha
, имеющую наибольшую площадь.
Ответ. Трапеция с перпендикулярными диагоналями, если \alpha\geqslant45^{\circ}
. Если \alpha\lt45^{\circ}
, трапеции с наибольшей площадью не существует.
Указание. Площадь четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними (см. задачу 3018).
Решение. Трапеция вписана в окружность, значит, она равнобедренная. Пусть R
— радиус данной окружности, d
— диагональ трапеции, \varphi
— угол между диагоналями, S
— площадь трапеции. По теореме синусов d=2R\sin\alpha
, поэтому (см. задачу 3018)
S=\frac{1}{2}d^{2}\sin\varphi=\frac{1}{2}\cdot4R^{2}\sin^{2}\alpha\sin\varphi\leqslant2R^{2}\sin^{2}\alpha,
причём равенство достигается в случае, когда \varphi=90^{\circ}
, т. е. когда диагонали трапеции перпендикулярны. В этом случае угол между диагональю и большим основанием равен 45^{\circ}
, значит, при \alpha\lt45^{\circ}
трапеции с наибольшей площадью не существует.
Впишем в данную окружность радиуса R
трапецию с перпендикулярными диагоналями. Для этого построим отрезок R\sqrt{2}
(гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами, равными R
), затем с центром в произвольной точке C
данной окружности строим окружность радиуса R\sqrt{2}
. Через точку A
её пересечения с данной окружностью строим хорду AD
данной окружности под углом 45^{\circ}
к AC
. Через точку D
перпендикулярно AC
проводим хорду DB
. Тогда ABCD
— искомая трапеция.
Действительно, \angle ACB=\angle ADB=\angle CAD
, поэтому BC\parallel AD
. Следовательно, ABCD
— трапеция, вписанная в окружность, а её диагонали AC
и BD
перпендикулярны.