5480. Катеты AB
и BC
прямоугольного треугольника ABC
равны соответственно 5 и 6; точки P
и Q
на катетах соответственно AB
и BC
таковы, что AP=CQ=2
. Прямая PQ
пересекает продолжение гипотенузы AC
в точке R
. Найдите QR
.
Ответ. 25.
Указание. Опустите перпендикуляры PP_{1}
, QQ_{1}
и BB_{1}
на гипотенузу AC
и найдите коэффициент подобия треугольников RQQ_{1}
и RPP_{1}
Решение. Пусть P_{1}
, B_{1}
и Q_{1}
— проекции точек соответственно P
, B
и Q
на гипотенузу AC
. Обозначим AC=b
. Тогда (см. задачу 2728)
AB_{1}=\frac{AB^{2}}{AC}=\frac{25}{b},~CB_{1}=\frac{BC^{2}}{AC}=\frac{36}{b},~BB_{1}=\sqrt{AB_{1}\cdot CB_{1}}=\frac{30}{b}.
Из подобия треугольников APP_{1}
и ABB_{1}
получаем, что
PP_{1}=BB_{1}\cdot\frac{AP}{AB}=\frac{30}{b}\cdot\frac{2}{5}=\frac{12}{b}.
Аналогично
QQ_{1}=BB_{1}\cdot\frac{CQ}{BC}=\frac{30}{b}\cdot\frac{2}{6}=\frac{10}{b}.
Из прямоугольного треугольника PBQ
находим, что PQ=5
. Прямоугольные треугольники QQ_{1}R
и PP_{1}R
подобны с коэффициентом \frac{QQ_{1}}{PP_{1}}=\frac{\frac{10}{b}}{\frac{12}{b}}=\frac{5}{6}
, поэтому \frac{QR}{PR}=\frac{5}{6}
, или \frac{QR}{QR+5}=\frac{5}{6}
. Отсюда находим, что QR=25
.