5486. В треугольнике ABC
точка D
лежит на стороне AC
, а точка E
лежит на отрезке AD
. Известно, что углы ABE
, DBE
и CBD
равны, а длина отрезка DE
вдвое меньше длины отрезка CD
и втрое меньше длины отрезка AE
. Найдите углы ABE
и ACB
.
Ответ. 45^{\circ}
, \arctg\frac{1}{2}
.
Указание. Примените свойство биссектрисы треугольника (см. задачу 1509), а также теорему синусов к треугольникам ABC
и DBC
Решение. Обозначим
DE=x,~BD=y,~\angle ABE=\angle DBE=\angle CBD=\alpha,~\angle ACB=\beta.
Тогда CD=2x
, AE=3x
, AC=6x
, \angle ABC=3\alpha
. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) \frac{AB}{BD}=\frac{AE}{ED}=3
, поэтому AB=3BD=3y
.
Применив теорему синусов к треугольникам ABC
и DBC
, получим, что
\frac{6x}{\sin3\alpha}=\frac{3y}{\sin\beta},~\frac{2x}{\sin\alpha}=\frac{y}{\sin\beta},~
откуда \sin3\alpha=\sin\alpha
. Значит, 3\alpha=\alpha
, что невозможно, либо 3\alpha+\alpha=180^{\circ}
. Следовательно, \angle ABE=\alpha=45^{\circ}
.
Применив свойство биссектрисы треугольника к прямоугольному треугольнику CBE
, получим, что
\tg\beta=\frac{BE}{BC}=\frac{DE}{CD}=\frac{1}{2}.