5487. В треугольнике ABC
точка D
лежит на стороне AC
, а точка E
лежит на отрезке AD
. Известно, что углы ABE
, DBE
и CBD
равны, а длина отрезка DE
вдвое меньше длины отрезка CD
и втрое меньше длины отрезка AE
. Найдите углы DBE
и BDA
.
Ответ. 45^{\circ}
, \arctg3
.
Указание. Примените свойство биссектрисы треугольника (см. задачу 1509), а также теорему синусов к треугольникам ABC
и ABE
Решение. Обозначим
DE=x,~BE=z,~\angle ABE=\angle DBE=\angle CBD=\alpha,~\angle CAB=\gamma.
Тогда CD=2x
, AE=3x
, AC=6x
, \angle ABC=3\alpha
. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) \frac{BC}{BE}=\frac{CD}{DE}=2
, поэтому BC=2BE=2z
.
Применив теорему синусов к треугольникам ABC
и ABE
, получим, что
\frac{6x}{\sin3\alpha}=\frac{2z}{\sin\gamma},~\frac{3x}{\sin\alpha}=\frac{z}{\sin\gamma},~
откуда \sin3\alpha=\sin\alpha
. Значит, 3\alpha=\alpha
, что невозможно, либо 3\alpha+\alpha=180^{\circ}
. Следовательно, \angle DBE=\alpha=45^{\circ}
.
Применив свойство биссектрисы треугольника к прямоугольному треугольнику ABD
, получим, что
\ctg\angle BDA=\frac{BD}{AB}=\frac{DE}{AE}=\frac{1}{3}.