5490. В треугольнике ABC
стороны AB
и BC
равны, длина стороны AC
равна 30, угол ABC
равен \arccos\left(-\frac{161}{289}\right)
. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC
, и расстояние от точки пересечения медиан до точки пересечения высот треугольника ABC
.
Ответ. \frac{15}{4}
, \frac{611}{24}
.
Решение. Пусть BB_{1}
— высота треугольника ABC
. Обозначим \angle ABC=\alpha
. Тогда
\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{161}{289}}{2}}=\frac{8}{17},~\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{15}{17}.
Из прямоугольного треугольника BB_{1}C
находим, что
B_{1}C=\frac{CB_{1}}{\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{15}{\frac{15}{17}}=15,~BB_{1}=BC\cos\frac{\alpha}{2}=17\cdot\frac{8}{17}=8.
Пусть r
— радиус окружности, вписанной в треугольник ABC
, p
— полупериметр треугольника, S
— площадь. Тогда
S=\frac{1}{2}AC\cdot BB_{1}=B_{1}C\cdot BB_{1}=15\cdot8=120,~p=17+15=32.
Следовательно (см. задачу 452), r=\frac{S}{p}=\frac{120}{32}=\frac{15}{4}
.
Пусть M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
, H
— точка пересечения высот. Поскольку треугольник равнобедренный, точка M
лежит на медиане BB_{1}
. Тогда MB_{1}=\frac{1}{3}BB_{1}=\frac{8}{3}
. Поскольку \cos\angle ABC\lt0
, треугольник ABC
тупоугольный, точка H
лежит на продолжении отрезка BB_{1}
за точку B
.
Из прямоугольного треугольника CB_{1}H
находим, что
HB_{1}=CB_{1}\ctg\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)=CB_{1}\tg\frac{\alpha}{2}=15\cdot\frac{15}{8}=\frac{225}{8}.
Следовательно,
MH=HB_{1}-MB_{1}=\frac{225}{8}-\frac{8}{3}=\frac{611}{24}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 2009, билет 9
Источник: Шабунин М. И. и др. Методическое пособие по математике для учащихся старших классов и абитуриентов / Под ред. М. И. Шабунина. — 3-е изд. — М.: Физматкнига, 2013. — № 4.225, с. 98