5491. В треугольнике ABC
стороны AB
и BC
равны 17, угол ABC
равен \arccos\left(-\frac{161}{289}\right)
. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC
, и расстояние от центра этой окружности до точки пересечения высот треугольника ABC
.
Ответ. \frac{289}{16}
, \frac{611}{16}
.
Решение. Пусть BB_{1}
— высота треугольника ABC
. Обозначим \angle ABC=\alpha
. Тогда
\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{161}{289}}{2}}=\frac{8}{17},~\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{15}{17}.
Из прямоугольного треугольника BB_{1}C
находим, что
BB_{1}=BC\cos\frac{\alpha}{2}=17\cdot\frac{8}{17}=8,~CB_{1}=BC\sin\frac{\alpha}{2}=17\cdot\frac{15}{17}=15.
Пусть R
— радиус окружности, описанной около треугольника ABC
, S
— площадь. Тогда
S=\frac{1}{2}AC\cdot BB_{1}=15\cdot8=120.
Следовательно (см. задачу 4259),
R=\frac{AB\cdot BC\cdot AC}{4S}=\frac{17\cdot17\cdot30}{4\cdot120}=\frac{289}{16}.
Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, H
— точка пересечения высот. Поскольку треугольник равнобедренный, точки O
, H
и B_{1}
лежат на одной прямой, а так как \cos\angle ABC\lt0
, то треугольник ABC
тупоугольный. Значит, точка H
лежит на продолжении отрезка BB_{1}
за точку B
, а точка O
— на продолжении отрезка BB_{1}
за точку B_{1}
.
Из прямоугольного треугольника CB_{1}H
находим, что
HB_{1}=CB_{1}\ctg\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)=CB_{1}\tg\frac{\alpha}{2}=15\cdot\frac{15}{8}=\frac{225}{8}.
Следовательно,
OH=OB+HB=R+(HB_{1}-BB_{1})=\frac{289}{16}+\frac{225}{8}-8=\frac{611}{16}.