5492. В треугольнике ABC
стороны AB
и BC
равны, высота BO
равна 8, угол ABC
равен \arccos\left(-\frac{161}{289}\right)
. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC
, и расстояние от центра этой окружности до точки пересечения высот треугольника ABC
.
Ответ. \frac{15}{4}
, \frac{195}{8}
.
Решение. Обозначим \angle ABC=\alpha
. Тогда
\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{161}{289}}{2}}=\frac{8}{17},~\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{15}{17}.
Из прямоугольного треугольника BOC
находим, что
BC=\frac{BO}{\cos\frac{\alpha}{2}}=\frac{8}{\frac{8}{17}}=17,~OC=BC\sin\frac{\alpha}{2}=17\cdot\frac{15}{17}=15.
Пусть r
— радиус окружности, вписанной в треугольник ABC
, p
— полупериметр треугольника, S
— площадь. Тогда
S=\frac{1}{2}AC\cdot BO=OC\cdot BO=15\cdot8=120,~p=17+15=32.
Следовательно (см. задачу 452), r=\frac{S}{p}=\frac{120}{32}=\frac{15}{4}
.
Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, H
— точка пересечения высот. Поскольку треугольник равнобедренный, точка I
лежит на отрезке BO
, а так как \cos\angle ABC\lt0
, то треугольник ABC
тупоугольный. Поэтому точка H
лежит на продолжении отрезка BO
за точку B
.
Из прямоугольного треугольника COH
находим, что
OH=OC\ctg\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)=OC\tg\frac{\alpha}{2}=15\cdot\frac{15}{8}=\frac{225}{8}.
Следовательно,
IH=OH-IO=OH-r=\frac{225}{8}-\frac{15}{4}=\frac{195}{8}.