5511. Даны непересекающиеся хорды AB
и CD
некоторой окружности. С помощью циркуля и линейки постройте на этой окружности такую точку X
, чтобы хорды AX
и BX
высекали на хорде CD
отрезок EF
, имеющий данную длину a
.
Указание. Рассмотрите образ точки A
при параллельном переносе на вектор \overrightarrow{EF}
.
Решение. Предположим, что нужная точка X
построена. Пусть A_{1}
— образ точки A
при параллельном переносе на вектор \overrightarrow{EF}
. Тогда A_{1}F\parallel AX
. Поэтому
\angle BFA_{1}=\angle BXA=\frac{1}{2}\smile AB.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим образ A_{1}
точки A
при параллельном переносе вдоль прямой DC
на расстояние, равное a
. Затем на отрезке A_{1}B
как на хорде строим в полуплоскости, содержащей хорду CD
, дугу окружности, вмещающую угол, равный \frac{1}{2}\smile AB
(см. задачу 2889). Если эта дуга пересекает хорду CD
, то каждая точка пересечения есть искомая точка F
.