5549. Стороны AB
и AC
треугольника ABC
равны 6 и 7 соответственно, а биссектриса CD
делится точкой O
пересечения биссектрис в отношении CO:OD=3:2
. Найдите сторону BC
.
Ответ. 2.
Указание. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам (см. задачу 1509).
Решение. Биссектриса AO
треугольника ACD
делит его сторону CD
на отрезки, пропорциональные сторонам AC
и AD
(см. задачу 1509), т. е.
\frac{AC}{AD}=\frac{CO}{OD}=\frac{3}{2}.
Отсюда находим, что AD=\frac{2}{3}AC=\frac{14}{3}
. Тогда
BD=AB-AD=6-\frac{14}{3}=\frac{4}{3}.
Биссектриса CD
треугольника ABC
делит его сторону AB
на отрезки, пропорциональные сторонам AC
и BC
, т. е.
\frac{AC}{BC}=\frac{AD}{BD}=\frac{\frac{14}{3}}{\frac{4}{3}}=\frac{7}{2}.
Следовательно, BC=\frac{2}{7}AC=\frac{2}{7}\cdot7=2
.