5579. Высота равнобедренной трапеции ABCD
равна 16, а её диагонали пересекаются в точке O
. Окружность радиуса 3 с центром в точке O
касается меньшего основания BC
и боковой стороны CD
трапеции. Найдите основания трапеции.
Ответ. 4, \frac{52}{3}
.
Указание. Треугольник ABD
— равнобедренный.
Решение. Обозначим BC=x
, AD=y
. Пусть M
и N
— середины оснований BC
и AD
соответственно, P
— проекция точки B
на большее основание AD
. Поскольку трапеция равнобедренная, данная окружность касается основания BC
в точке M
и ON\perp AD
.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому BD
— биссектриса угла ABC
. Тогда
\angle ADB=\angle CBD=\angle ABD,
значит, треугольник ABD
равнобедренный, AB=AD=y
. Кроме того,
AP=\frac{AD-BC}{2}=\frac{y-x}{2}
(см. задачу 1921).
По теореме Пифагора AB^{2}-AP^{2}=BP^{2}
, или
y^{2}-\left(\frac{y-x}{2}\right)^{2}=16^{2},~\left(y-\frac{y-x}{2}\right)\left(y+\frac{y-x}{2}\right)=16^{2},
(y+x)(3y-x)=32^{2}.
Треугольники BOC
и DOA
подобны, значит, отношение их соответствующих высот OM
и ON
равно коэффициенту подобия, т. е. \frac{x}{y}
. Тогда
\frac{OM}{BP}=\frac{OM}{MN}=\frac{x}{x+y},
а так как \frac{OM}{BP}=\frac{3}{16}
, то \frac{x}{x+y}=\frac{3}{16}
. Отсюда получаем, что y=\frac{13}{3}x
. Учитывая равенство (y+x)(3y-x)=32^{2}
, находим, что x=4
. Тогда y=\frac{52}{3}
.