5581. Диагонали равнобедренной трапеции ABCD
пересекаются в точке O
, а её высота равна 4. Окружность радиуса \frac{3}{4}
с центром в точке O
касается меньшего основания BC
и боковой стороны CD
трапеции. Найдите основание BC
и диагональ трапеции.
Ответ. 1, \frac{4\sqrt{13}}{3}
.
Указание. Треугольник ABD
— равнобедренный.
Решение. Обозначим BC=x
, AD=y
. Пусть M
и N
— середины оснований BC
и AD
соответственно, P
— проекция точки B
на большее основание AD
. Поскольку трапеция равнобедренная, данная окружность касается основания BC
в точке M
и ON\perp AD
.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому BD
— биссектриса угла ABC
. Тогда
\angle ADB=\angle CBD=\angle ABD,
значит, треугольник ABD
равнобедренный, AB=AD=y
. Кроме того,
AP=\frac{AD-BC}{2}=\frac{y-x}{2}
(см. задачу 1921).
По теореме Пифагора AB^{2}-AP^{2}=BP^{2}
, или
y^{2}-\left(\frac{y-x}{2}\right)^{2}=4^{2},~\left(y-\frac{y-x}{2}\right)\left(y+\frac{y-x}{2}\right)=16,
(y+x)(3y-x)=64
Треугольники BOC
и DOA
подобны, значит, отношение их соответствующих высот OM
и ON
равно коэффициенту подобия, т. е. \frac{x}{y}
. Тогда
\frac{OM}{BP}=\frac{OM}{MN}=\frac{x}{x+y},
а так как \frac{OM}{BP}=\frac{3}{16}
, то \frac{x}{x+y}=\frac{3}{16}
. Отсюда получаем, что y=\frac{13}{3}x
. Учитывая равенство (y+x)(3y-x)=64
, находим, что x=1
. Тогда y=\frac{13}{3}
,
DP=\frac{y+x}{2}=\frac{\frac{13}{3}+1}{2}=\frac{8}{3}
(см. задачу 1921). Из прямоугольного треугольника ABP
находим, что
BD^{2}=BP^{2}+DP^{2}=16+\frac{64}{9}=\frac{16}{9}\cdot13.
Следовательно, BD=\frac{4\sqrt{13}}{3}
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 2008, билет 11
Источник: Шабунин М. И. и др. Методическое пособие по математике для учащихся старших классов и абитуриентов / Под ред. М. И. Шабунина. — 3-е изд. — М.: Физматкнига, 2013. — № 4.211, с. 97