5582. Меньшее основание равнобедренной трапеции ABCD
равно 8, а её диагонали пересекаются в точке O
. Окружность радиуса 6 с центром в точке O
касается основания BC
и боковой стороны CD
трапеции. Найдите основание AD
и высоту трапеции.
Ответ. \frac{104}{3}
, 32.
Указание. Треугольник ABD
— равнобедренный.
Решение. Пусть M
и N
— середины оснований BC
и AD
соответственно, P
— проекция точки B
на большее основание AD
. Поскольку трапеция равнобедренная, данная окружность касается основания BC
в точке M
и ON\perp AD
. Обозначим AD=y
, BP=x
.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому BD
— биссектриса угла ABC
. Тогда
\angle ADB=\angle CBD=\angle ABD,
значит, треугольник ABD
равнобедренный, AB=AD=y
. Кроме того,
AP=\frac{AD-BC}{2}=\frac{y-8}{2}
(см. задачу 1921).
По теореме Пифагора AB^{2}-AP^{2}=BP^{2}
, или
y^{2}-\left(\frac{y-8}{2}\right)^{2}=x^{2},~\left(y-\frac{y-8}{2}\right)\left(y+\frac{y-8}{2}\right)=x^{2},
(y+8)(3y-8)=4x^{2}.
Треугольники BOC
и DOA
подобны, значит, отношение их соответствующих высот OM
и ON
равно коэффициенту подобия, т. е. \frac{8}{y}
. Тогда
\frac{OM}{BP}=\frac{OM}{MN}=\frac{8}{y+8},
а так как \frac{OM}{BP}=\frac{6}{x}
, то \frac{8}{y+8}=\frac{6}{x}
. Отсюда получаем, что x=\frac{3}{4}(y+8)
. Учитывая равенство (y+8)(3y-8)=4x^{2}
, находим, что y=\frac{104}{3}
, x=32
. Следовательно, AD=\frac{104}{3}
, BP=32
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 2008, билет 12
Источник: Шабунин М. И. и др. Методическое пособие по математике для учащихся старших классов и абитуриентов / Под ред. М. И. Шабунина. — 3-е изд. — М.: Физматкнига, 2013. — № 4.212, с. 97